蒙特卡罗方法

一种数值方法，通过采样与统计来对复杂东西进行估计的一种方法。 简单来说，蒙特卡洛方法通过大量的随机实验，利用大数定理使得结果可以逼近真实值 举例说明 ——

• 假设并不知道抛一次硬币是正面的概率，于是做大量实验得到正面的概率
• 假设计算 $\pi$，则在一个正方形内随机投点，统计落入内切圆的比例——则 $\pi$ 可以近似为$4\frac{\mathrm{落}\mathrm{入}\mathrm{圆}\mathrm{的}\mathrm{点}\mathrm{数}}{\mathrm{总}\mathrm{点}\mathrm{数}}$

优劣

• 适用于高维问题（高维积分）
• 实现简单
• 可处理复杂概率模型
• 并行化容易

但是也很显然，结果是否可以快速收敛并且趋近于真实值，非常依赖于 $pdf$，同时也必须通过大量的随机样本才可以有好结果

蒙特卡洛积分

使用蒙特卡罗方法计算的积分。 假设对于在 $[a,b]$ 之间均匀采样 即

$$I\approx \frac{1}{N}(b-a)\sum _{i=1}^{N}f(x_i)$$

直觉上看有点类似积分中值定理（这么直观理解感觉没太大错，通过不断采样来得到一个$\xi$可以表示出整个积分的结果

但是实际上是把积分转化成了期望的问题 ——

实际上均匀采样隐含了一层 $pdf(x)=\frac{1}{b-a}$

那么推广得到

$$I={\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^b\frac{f(x)}{p(x)}p(x)dx=E_{X\sim p}[f(x)\frac{1}{p(X)}]\approx \frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{f(X_i)}{p(X_i)}$$

前面是期望的定义，最后一步使用大数定理进行近似，就得到了蒙特卡洛积分的表达式