欧拉公式

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

旋转 -> 使用矩阵乘法表示（进行一次线性变化，还是旋转的）

复数理解

先看 $i$ 的定义

$$i^2=-1$$

假设把数理解成一种”操作“，那么在乘某个数这个旋转群中，$\times (-1)$ 就等价于把这个数轴以原点为中心，旋转 $\pi$。又根据合并性 —— 所以乘 $i$ 就等价于把数轴以原点为中心，旋转 $\frac{1}{4}\pi$。

欧拉公式理解

$$s=e^{it}$$

如果定义复变函数的运算法则与实数函数一致，那么对其求导得

$$v(t)=is$$

通过物理的角度，就是速度方向始终与位移方向垂直 —— 匀速圆周运动。由此，上述复变函数便可以视作某时刻 $t$ 质点在单位圆上的点，而一个复平面上的点又可以看作下面两个向量加法（分解成实数轴和虚数轴上的位移）

$$\cos \theta +i\sin \theta$$

就有了一个对于欧拉公式的基本理解，实际证明当中，常使用泰勒展开等方法。

那么综上所述，可以把欧拉公式理解成 —— 描述一个点在复平面的单位圆上旋转 $\theta$ 角度的结果。更疯狂一点，甚至可以看作是把整个实数轴“卷”成了一个在复平面上的圆。这提供了一种理解——实数轴上可以看作“平移”了多少距离等价于在复平面的这个圆上移动了多长距离。

另外，如果把 $\theta =\omega t$ 与 $\omega =2\pi f$ 代入欧拉公式，便相当于把“时间”、“频率”给统一到了一起。

综上所述，欧拉公式 $e^{i\omega t}=cos(\omega t)+isin(\omega t)$ 可以表示：

• 在复平面上以角速度 $\omega$ 匀速旋转
• 其中频率 $f=\frac{\omega }{2\pi }$