傅里叶变换

傅里叶变换是一种将信号从时域（或空间域）映射到频域的数学工具

频域和时域

假设我们听到了标准音A，那么A所对应的频率（一个定值），那么这根弦随时间震动的样子就可以通过时域下的图像来描述

综上所述

• 时域：$f(t)$ 通过时间来描述信号
• 频域：$\varphi (f)$ 通过频率来描述信号

傅里叶变换理解

以声音为例子，日常听到的声音是若干不同频率声音的叠加，但是我们的耳朵（或视作麦克风收音）接收到的是不同频率声音叠加的结果。那么傅里叶变换可以视作一个把这个叠加的结果重新分解回那若干频率的”每一个“声音的黑盒。

给出定义，对于任意时域上的信号$f(t)$，可以通过傅里叶变化将其转化到频域 ——

$$g(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{i\omega t}dt$$

$g(\omega )$ 可以理解为频率 $\omega$ 对”合成“时域函数的贡献 遍历所有的频率 $\omega$ 就可以把原来的信号 $f(t)$ 分解到各个 $\omega$ 上，从而得到时域上的信号转化成不同的频率

傅里叶变换与傅里叶级数

傅里叶级数仅用于逼近周期函数，无法拆解非周期函数，这很坏。 于是傅里叶变换 —— 假设对于一个非周期函数，看成“周期趋于无穷大”的极限 —— 说人话，这个式子简直就是傅里叶级数当中系数 $c_n$ 当周期$T$趋于无穷的结果

也就是说 —— 如果遍历了所有的频率 $\omega$ 求出对应所有的 $g(\omega )$，即傅里叶变换的结果，再将其积分起来，就可以看作是傅里叶级数推广到整个频域的结果。