傅里叶级数

“将复杂的函数分解成简单震荡的叠加”

简单理解

通过对于欧拉公式的简单理解

那么傅里叶级数的公式

$$f(t)=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{int}$$

其中

$$c_n={\int }_0^1{e}^{-\pi int}f(t)dt$$

实际上区间可以并非$[0,1]$而是可以拓展成一个周期，$c_n$ 便是它的“均值” 其中乘上$e^{-1\pi int}$ 是为了“平衡”第n项的旋转——其他的旋转向量的平均值都是0（因为正好旋转了整数圈），只剩下第 $n$ 项的常数 $c_n$ 参与积分——$c_n={\int }_0^1{c}_n$

也就是把一个函数分解成 —— 每秒顺时针转一次+每秒顺时针转两次+每秒顺时针转三次+…+每秒顺时针转$n$次+每秒逆时针转一次+每秒逆时针转两次+每秒逆时针转三次+…+每秒逆时针转$n$次

其中每一项都是一个“旋转向量”，不同频率、不同幅度、不同相位，最后组合再一起来拟合整个周期函数。

换一种角度，傅里叶级数相当于把复杂的周期函数投影到不同频率的基底上——利用了正余弦函数的正交性